如何证明√2+√3+√5是无理数？ 某乎上给出一种特别无趣的证明方法

如何证明 √2 + √3 + √5 是无理数？ 某乎上给出一种特别无趣的证明方法，但需要前置知识较少。 若√2+√3+√5∈Q,则平方可得√6+√10+√15∈Q（1）则平方可得 2√15+3√10+5√6∈Q（2）则平方可得 2√15+3√10+5√6∈Q，得到√10 ，√15 ， √6的一个线性组合，这样就有关于它们的三个方程了，若这个线性方程组非奇异，解之可得三者都是有理数，矛盾。若奇异，则有√10， √15， √6的某个线性组合（有理系数）等于0，把一项移到等号一边，再平方即可。 推广之，n个互质的数a1 … an，如上方法一直平方，最后能得到一大堆根号项的线性组合，这些项是a1 … an的不超过n的奇数次方的乘积，虽然非常多，但也是有限的。一直平方下去，总能得到足够多的线性方程，同上，若非奇异，解之；若奇异，移项，再次平方，根据归纳假设得证！ 上述方法的确很好，但观察后发现其实只需要作差（2）减去2*（1）即可得√10+3√6∈Q, 则平方可得√15∈Q,熟知√15为无理数，故原假设错误，√2+√3+√5为无理数。